Основы математического моделирования

С.В. Звонарев
Основы математического
моделирования
Лекция № 2. Математические модели и их классификации
Екатеринбург
2012

Цель лекции

Определить понятие математической модели.
Изучить обобщенную математическую модель.
Рассмотреть классификацию математических моделей.
2 Математическая модель.
Обобщенная математическая модель.
.
Степень соответствия математической модели объекту.
Классификация математических моделей.
3

Математическая модель

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
4

Математическая модель

Математической моделью называется совокупность уравнений
или других математических соотношений, отражающих основные
свойства изучаемого объекта или явления в рамках принятой
умозрительной
физической
модели
и
особенности
его
взаимодействия с окружающей средой.
Основными свойствами математических моделей являются:
адекватность;
простота.
Процесс формулировки математической модели называется
постановкой задачи.
Математическая модель является математическим аналогом
проектируемого объекта. Степень адекватности ее объекту
определяется постановкой и корректностью решений задачи
проектирования.
5

Математическое моделирование

Математическая модель технического объекта –
совокупность математических уравнений и отношений
между ними, которая адекватно отражает свойства
исследуемого объекта, интересующие исследователя
(инженера).
Математическое моделирование – это идеальное
научное знаковое формальное моделирование, при котором
описание объекта осуществляется на языке математики, а
исследование модели проводится с использованием тех или
иных математических методов.
Методы отыскания экстремума функции многих
переменных с различными ограничениями часто
называются
методами
математического
программирования.
6

Обобщенная математическая модель

Элементы обобщенной математической модели:
множество входных данных (переменные) X,Y;
математический оператор L;
множество выходных данных (переменных) G(X,Y).
7

Входные данные

X – множество варьируемых переменных, которое
образует пространство варьируемых параметров Rx
(пространство поиска), являющееся метрическим с
размерностью
n,
равной
числу
варьируемых
параметров.
Y – множество независимых переменных (константы),
которое образует метрическое пространство входных
данных Ry. В том случае, когда каждый компонент
пространства Ry задается диапазоном возможных
значений,
множество
независимых
переменных
отображается
некоторым
ограниченным
подпространством пространства Ry.
8

Независимые переменные Y

Они определяют среду функционирования объекта, т.е.
внешние
условия,
в
которых
будет
работать
проектируемый объект. К ним могут относиться:
технические параметры объекта, не подлежащие
изменению в процессе проектирования;
физические
возмущения среды,
взаимодействует объект проектирования;
с
которой
тактические параметры, которые должен достигать
объект проектирования.
9

Математические оператор и выходные данные

Математический оператор L – полная система
математических операций, описывающих численные или
логические соотношения между множествами входных и
выходных данных (переменные). Он определяющий
операции над входными данными.
Множество выходных данных (переменных) G(X,Y)
представляет собой совокупность критериальных функций,
включающую (при необходимости) целевую функцию.
Выходные данные рассматриваемой обобщенной модели
образуют метрическое пространство критериальных
показателей RG.
10

Нелинейность математических моделей

Нелинейность математических моделей
‒ нарушение принципа
суперпозиции, т.е. когда любая линейная комбинация решений не
является решением задачи. Таким образом знание о поведении части
объекта еще не гарантирует знания поведения всего объекта.
Большинство
реальных
процессов
и
соответствующих
им
математических моделей не линейны. Линейные же модели отвечают
весьма частным случаям и, как правило, служат лишь первым
приближением к реальности.
Пример – популяционные модели сразу становятся нелинейными,
если принять во внимание ограниченность доступных популяции
ресурсов.
11

Степень соответствия математических моделей объекту

Сложности:
Математическая модель никогда не бывает тождественна
рассматриваемому объекту и не передает всех его свойств и
особенностей.
Математическая модель является приближенным описанием
объекта и носит всегда приближенный характер.
Точность соответствия определяется степенью соответствия,
адекватности модели и объекта. Способы:
Использование эксперимента (практики) для сравнения моделей и
выбора из них наиболее подходящей.
Унификация математических моделей за счет накопления наборов
готовых моделей.
Перенос готовых моделей из одних процессов на другие,
идентичные, аналогичные.
Использование минимального количества приближений и учет
возмущающих воздействий.
12

Классификация математических моделей

КЛАССИФИКАЦИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
13

Классы математических моделей

Математические модели подразделяют на классы в
зависимости от:
сложности объекта моделирования;
оператора модели;
входных и выходных параметров;
цели моделирования;
способа исследования модели;
объектов исследования;
принадлежности модели к иерархическому уровню
описания объекта;
характера отображаемых свойств;
порядка расчета;
использования управления процессом.
14

Классификация по сложности объекта

В
простых
моделях
при
моделировании
не
рассматривается внутреннее строение объекта, не
выделяются
составляющие
его
элементы
или
подпроцессы.
Объект система соответственно более сложная система,
представляющая собой совокупность взаимосвязанных
элементов, обособленная от окружающей среды и
взаимодействующая с ней как целое.
15

Классификация по оператору модели

Математическую
модель
называют
линейной, если оператор обеспечивает
линейную
зависимость
выходных
параметров
от
значений
входных
параметров.
Математическую
модель
называют
нелинейной, если оператор обеспечивает
нелинейную
зависимость
выходных
параметров
от
значений
входных
параметров.
Математическая модель простая, если оператор модели является
алгебраическим
выражением,
отражающим
функциональную
зависимость выходных параметров от входных.
Модель, включающая системы дифференциальных и интегральных
соотношений, называется сложной.
Модель называется алгоритмической когда удается построить
некоторый имитатор поведения и свойств объекта с помощью алгоритма.
16

Классификация по входным и выходным параметрам

17

Классификация по характеру моделируемого процесса

Детерминированные,
которые
соответствуют
детерминированным процессам, имеющим строго
однозначную связь между физическими величинами,
характеризующими состояние системы в какой-либо
момент
времени.
Детерминированная
модель
позволяет однозначно вычислить и предсказать
значения выходных величин по значениям входных
параметров и управляющих воздействий.
Неопределенные, которые исходят из того, что
изменение определяющих величин происходит
случайным образом, и значения выходных величин
находятся в вероятностном соответствии с входными
величинами и не определяются однозначно.
18

Неопределенные модели

Стохастические – значения всех или отдельных параметров
модели определяются случайными величинами, заданными
плотностями вероятности.
Случайные – значения всех или отдельных параметров модели
устанавливаются случайными величинами, заданными оценками
плотностей вероятности, полученными в результате обработки
ограниченной экспериментальной выборки данных параметров.
Интервальные – значения всех или отдельных параметров
модели описываются интервальными величинами, заданными
интервалом, образованным минимальным и максимально
возможными значениями параметра.
Нечеткие – значения всех или отдельных параметров модели
описываются функциями принадлежности соответствующему
нечеткому множеству.
19

Классификация по отношению к размерности пространства

Одномерные.
Двумерные.
Трехмерные.
Такое деление применимо для моделей, в число
параметров
которых
входят
координаты
пространства.
20

Классификация по отношению ко времени

Статические. Если состояние системы не

статическими. Статическое моделирование
служит для описания состояния объекта в
фиксированный момент времени.
Динамические. Если состояние системы
меняется со временем, то модели называют
динамическими. Динамическое моделирование
служит для исследования объекта во времени.
21

Классификация по виду используемых множеств параметров

Качественные.
Количественные.
Дискретные.
Непрерывные.
Смешанные.
22

Классификация по целям моделирования

Дескриптивные. Целью таких моделей является установление законов
изменения параметров модели. Пример – модель движения ракеты после
старта с поверхности Земли.
Оптимизационные. Подобные модели предназначены для определения
оптимальных с точки зрения некоторого критерия параметров
моделируемого объекта или же для поиска оптимального режима
управления некоторым процессом. Примером подобной модели может
служить моделирование процесса запуска ракеты с поверхности Земли с
целью подъема ее на заданную высоту за минимальное время.
Управленческие. Такие модели применяются для принятия эффективных
управленческих решений в различных областях целенаправленной
23
деятельности человека.

Классификация по методу реализации

Аналитические. Аналитические методы более удобны для
последующего анализа результатов, но применимы лишь для
относительно простых моделей. В случае, если математическая
задача допускает аналитическое решение, то оно считается
предпочтительнее численного.
Алгоритмические. Алгоритмические методы сводятся к
некоторому
алгоритму,
реализующему
вычислительный
24
эксперимент с использованием ЭВМ.

Классификация по объектам исследования

Объекты с высокой степенью информации. если в процессе
моделирования известны полные системы уравнений,
описывающие все стороны моделируемого процесса и все
числовые значения параметров этих уравнений.
Объекты с нулевым уровнем информации. Математическая
модель такого объекта строится на основе статистических
экспериментальных данных.
Объекты с известными основными закономерностями.
Значения констант в математических уравнениях описания
модели устанавливают из опыта.
Объекты, о поведении которых имеются сведения
эмпирического характера. Для них используют методы
физического моделирования с применением математического
планирования эксперимента.
25

Классификация по принадлежности модели к иерархическому уровню описания объекта

Микроуровень
(типовыми
процессами
являются
массообменные,
теплофизические,
гидродинамические).
Моделирование
осуществляется
в
целях
синтеза
технологического процесса для отдельного или нескольких
агрегатов.
Макроуровень. Моделирование процессов, имеющих более
высокий уровень агрегации; модели применяют для синтеза
текущего управления технологическим процессом для одного
агрегата или технологического комплекса в целом.
Метауровень. Моделирование процессов в совокупности
агрегатов и связывающих их материально-энергетических
потоков. Такие модели служат для синтеза технологического
комплекса как единого целого, то есть для синтеза управления
развитием.
26

Классификация по характеру отображаемых свойств модели

Функциональные
модели.
Используются,
для
описания
физических и информационных процессов, протекающих при
функционировании объекта.
Структурные
модели.
Описывают
состав
и
взаимосвязи
элементов системы (процесса, объекта).
27

Классификация по порядку расчета

Прямые. Применяются для определения кинетических,
статических и динамических закономерностей процессов.
Обратные
(инверсионные).
Используются
для
определения значения входных параметров или других
заданных свойств обрабатываемых веществ или
продуктов, а также для определения допустимых
отклонений режимов обработки (задачи оптимизации
процессов и параметров аппаратов).
Индуктивные.
Применяются
для
уточнения
математических уравнений кинетики, статики или
динамики процессов с использованием новых гипотез или
теорий.
28

Классификация по использованию управления процессом

Модели прогноза, или расчетные модели без управления.
Основное назначение этих моделей – дать прогноз о поведении
системы во времени и в пространстве, зная начальное состояние
и информацию о поведении ее на границе. Примеры -модели
распределения тепла, электрического поля, химической
кинетики, гидродинамики.
Оптимизационные модели.
– Стационарные модели. Используются на уровне проектирования
различных
технологических
систем.
Примеры
‒
детерминированные задачи, вся входная информация в которых
является полностью определяемой.
– Нестационарные
модели.
Используются
на
уровне
проектирования, так и, главным образом, для оптимального
управления различными процессами – технологическими,
экономическими и др. В этих задачах некоторые параметры носят
случайный характер или содержат элемент неопределенности.
29 Гипотеза.
Феноменологическая модель.
Приближение.
Упрощение.
Эвристическая модель.
Аналогия.
Мысленный эксперимент.
Демонстрация возможности.
30

Гипотеза

Эти модели представляют собой пробное
описание явления. Если такая модель построена, то
это означает, что она временно признается за истину
и можно сконцентрироваться на других проблемах.
Однако это не может быть точкой в исследованиях, а
только временной паузой: статус модели может быть
только временным.
Примеры:
Модель Солнечной системы по Птолемею.
Модель Коперника (усовершенствованная Кеплером).
Модель атома Резерфорда.
Модель Большого Взрыва.
и д.р.
31

Феноменологическая модель

Данная модель содержит механизм для описания явления.
Однако этот механизм недостаточно убедителен и не может быть
подтвержден имеющимися данными или плохо согласуется с
имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте.
Поэтому феноменологические модели имеют статус временных
решений. Роль модели в исследовании может меняться со
временем, может случиться так, что новые данные и теории
подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до
статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно
придти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те
могут быть переведены во второй.
Примеры:
Модель теплорода.
Кварковая модель элементарных частиц.
и д.р.
32

Приближение

Общепринятый прием в случае когда нельзя
решить даже с помощью компьютера уравнения,
описывающие исследуемую систему – использование
приближений. Уравнения заменяются линейными.
Стандартный пример – закон Ома.
33

Упрощение

В данной модели отбрасываются детали, которые
могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на
результат.
Примеры:
Применение модели идеального газа к неидеальному.
Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса.
Большинство моделей физики твердого тела,
жидкостей и ядерной физики. Путь от микроописания к
свойствам тел (или сред), состоящих из большого числа
частиц, очень длинен. Приходится отбрасывать многие
детали.
34

Эвристическая модель

Эвристическая модель сохраняет лишь качественное
подобие реальности и дает предсказания только «по
порядку величины».
Оно дает простые формулы для коэффициентов
вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся
с реальностью по порядку величины. Но при
построении новой физики далеко не сразу получается
модель, дающая хотя бы качественное описание объекта.
Типичный пример – приближение средней длины
свободного пробега в кинетической теории.
35

Аналогия

Данная
модель
впервые
возникла,
когда
взаимодействие в системе нейтрон-протон пытались
объяснить посредством взаимодействия атома
водорода с протоном. Эта аналогия и привела к
заключению, что должны существовать обменные
силы взаимодействия между нейтроном и протоном,
обусловленным переходом электрона между двумя
протонами.
36

Мысленный эксперимент и демонстрация возможности

Мысленный эксперимент – это рассуждения,
которые в конечном итоге приводят к противоречию.
Демонстрация возможности – это тоже мысленные
эксперименты
с
воображаемыми
сущностями,
демонстрирующие,
что
предполагаемое
явление
согласуется с базовыми принципам и внутренне
непротиворечиво. Один из самых знаменитых таких
экспериментов – геометрия Лобачевского.
37

Заключение и выводы

Рассмотрено понятие математической модели.
Изучена обобщенная математическая модель.
Определены понятия: нелинейность математических моделей и степень
соответствия математической модели объекту.
Представлена классификация математических моделей.
38 Самарский, А.А. Математическое моделирование / А.А. Самарский,
А.П. Михайлов. – М.: Наука. Физматлит, 1997.
Тарасевич, Н.Н. Математическое и компьютерное моделирование.
Вводный курс / Н.Н. Тарасевич. – М.: Эдиториал УРСС, 2001.
Введение в математическое моделирование: уч. Пособие / под
редакцией П.В. Трусова. – М.: Университетская книга, Логос, 2007. –
440 с.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Математические модели

05.05.17 Математические модели Основным языком информационного моделирования в науке является язык математики. Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями. Математическая модель - информационная модель, в которой параметры и зависимости между ними выражены в математической форме.

05.05.17 Например, известное уравнение S=vt, где S - расстояние, v - скорость t - время, представляет собой модель равномерного движения, выраженную в математической форме.

05.05.17 Рассматривая физическую систему: тело массой m , скатывающееся по наклонной плоскости с ускорением a под воздействием силы F , Ньютон получил соотношение F = mа. Это математическая модель физической системы.

05.05.17 Метод моделирования дает возможность применять математический аппарат к решению практических задач. Понятия числа, геометрической фигуры, уравнения, являются примерами математических моделей. К методу математического моделирования в учебном процессе приходится прибегать при решении любой задачи с практическим содержанием. Чтобы решить такую задачу математическими средствами, ее необходимо вначале перевести на язык математики (построить математическую модель). Математическое моделирование

05.05.17 При математическом моделировании исследование объекта осуществляется посредством изучения модели, сформулированной на языке математики. Пример: нужно определить площадь поверхности стола. Измеряют длину и ширину стола, а затем перемножают полученные числа. Это фактически означает, что реальный объект – поверхность стола – заменяется абстрактной математической моделью прямоугольником. Площадь этого прямоугольника и считается искомой. Из всех свойств стола выделили три: форма поверхности (прямоугольник) и длины двух сторон. Не важны ни цвет стола, ни материал, из которого он сделан, ни то, как он используется. Предположив, что поверхность стола – прямоугольник, легко указать исходные данные и результат. Они связаны соотношением S = ab .

05.05.17 Рассмотрим пример приведения решения конкретной задачи к математической модели. Через иллюминатор затонувшего корабля требуется вытащить сундук с драгоценностями. Даны некоторые предположения о формах сундука и окнах иллюминатора и исходные данные решения задачи. Предположения: Иллюминатор имеет форму круга. Сундук имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Исходные данные: D - диаметр иллюминатора; x - длина сундука; y - ширина сундука; z - высота сундука. Конечный результат: Сообщение: можно или нельзя вытащить.

05.05.17 Если, то сундук можно вытащить, а если, то нельзя. Системный анализ условия задачи выявил связи между размером иллюминатора и размерами сундука, учитывая их формы. Полученная в результате анализа информация отобразилась в формулах и соотношениях между ними, так возникла математическая модель. Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом:

05.05.17 Пример 1: Вычислить количество краски для покрытия пола в спортивном зале. Для решения задачи нужно знать площадь пола. Для выполнения этого задания измеряют длину, ширину пола и вычисляют его площадь. Реальный объект – пол зала – занимается прямоугольником, для которого площадь является произведением длины на ширину. При покупке краски выясняют, какую площадь можно покрыть содержимым одной банки, и вычисляют необходимое количество банок. Пусть A – длина пола, B - ширина пола, S 1 - площадь, которую можно покрыть содержимым одной банки, N – количество банок. Площадь пола вычисляем по формуле S = A×B , а количество банок, необходимых для покраски зала, N = A×B / S 1 .

05.05.17 Пример 2: Через первую трубу бассейн наполняется за 30 часов, через вторую трубу – за 20 часов. За сколько часов бассейн наполнится через две трубы? Решение: Обозначим время заполнения бассейна через первую и вторую трубу А и В соответственно. Примем за 1 весь объём бассейна, искомое время обозначим через t. Так как через первую трубу бассейн наполняется за А часов, то 1/А –часть бассейна, наполняемая первой трубой за 1 час; 1/В - часть бассейна, наполняемая второй трубой за 1 час. Следовательно, скорость наполнения бассейна первой и второй трубами вместе составит: 1/А+1/В. Можно записать: (1/А+1/В) t =1 . получили математическую модель, описывающую процесс наполнения бассейна из двух труб. Искомое время можно вычислить по формуле:

05.05.17 Пример 3: На шоссе расположены пункты А и В, удалённые друг от друга на 20 км. Мотоциклист выехал из пункта В в направлении, противоположном А со скоростью 50 км/ч. Составим математическую модель, описывающую положение мотоциклиста относительно пункта А через t часов. За t часов мотоциклист проедет 50 t км и будет находится от А на расстоянии 50 t км + 20 км. Если обозначить буквой s расстояние (в километрах) мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить формулой: S=50t + 20 , где t>0 .

05.05.17 Первое число равно x , а второе на 2,5 больше первого. Известно, что 1/5 первого числа равна 1/4 второго. Составьте математические модели данных ситуаций: У Миши x марок, а у Андрея в полтора раз больше. Если Миша отдаст Андрею 8 марок, то у Андрея станет марок вдвое больше, чем останется у Миши. Во втором цехе работают x человек, в первом – в 4 раза больше, чем во втором, а в третьем - на 50 человек больше, чем во втором. Всего в трех цехах завода работают 470 человек. Проверим: Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: б ыло у Миши х марок; у Андрея 1,5х. Стало у Миши х-8 , у Андрея 1,5х+8 . По условию задачи 1,5х+8=2(х-8). Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: во втором цехе работают x человек, в первом – 4х, а в третьем - х+50 . х+4х+х+50=470. Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: первое число х; второе х+2,5 . По условию задачи х/5=(х+2,5)/4.

05.05.17 Вот так обычно применяется математика к реальной жизни. Математические модели бывают не только алгебраические (в виде равенства с переменными, как в разобранных выше примерах), но и в другом виде: табличные, графические и другие. С другими видами моделей мы познакомимся на следующем занятии.

05.05.17 Задание на дом: § 9 (стр. 54-58) № , 2, 4 (стр. 60) в тетради

05.05.17 Спасибо за урок!

05.05.17 Источники Информатика и ИКТ: учебник для 8 класса http://www.lit.msu.ru/ru/new/study (графики, схемы) http://images.yandex.ru (картинки)

Литература 1. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры.– М.: Наука, Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука, Турчак Л. И. Основы численных методов. – М.: Наука, Копченова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972.

Немного истории от манипуляции предметами к манипуляциям понятиями о предметах замена изучаемого объекта, процесса или явления более простым и доступным для исследования эквивалентом невозможность учесть всю совокупность факторов, определяющих свойства и поведение объекта

Роль моделей Здание – некрасивое, непрочное или не вписывается в окружающий пейзаж Демонстрация систем кровообращения на натуре негуманна Напряжения, например в крыльях, могут оказаться слишком велики Собирать электрические цепи для измерений неэкономично

Связь модели с оригиналом Создание модели предполагает сохранение каких - то свойств оригинала, причем в разных моделях эти свойства могут быть разными. Здание из картона много меньше настоящего, но позволяет судить о его внешнем виде; плакат делает понятной систему кровообращения, хотя ничего общего не имеет с органами и тканями; макет самолета не летает, но напряжения в его корпусе соответствуют условиям полета.

Почему используют модели? 1.Модель доступнее для исследования, чем реальный объект, 2.Исследовать модель проще и дешевле, чем реальные объекты, 3.некоторые объекты невозможно изучать непосредственно: пока невозможно, например, построить устройство для термоядерного синтеза или провести эксперименты в недрах звезд, 4.невозможны эксперименты с прошлым, недопустимы эксперименты с экономикой или социальные эксперименты

Назначение моделей 1.С помощью модели можно выявить наиболее существенные факторы, формирующие свойства объекта. Поскольку модель отражает только некоторые характеристики объекта - оригинала, то, варьируя набор этих характеристик в составе модели, можно определить степень влияния тех или иных факторов на адекватность поведения модели

Модель нужна: 1.Для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром. 2.Для того, чтобы научиться управлять объектом или процессом и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях. 3.Для того, чтобы прогнозировать поведение объекта и оценить последствия различных способов и форм воздействия на объект (метеорологические модели, модели развития биосферы).

Свойство правильной модели Правильно построенная, хорошая модель обладает замечательным свойством: ее изучение позволяет получить новые знания об объекте - оригинале, несмотря на то, что при создании модели использовались только некоторые основные характеристики оригинала

Материальное моделирование Модель воспроизводит основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта, когда реальному объекту сопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследование в лабораторных условиях с последующим перенесением свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе теории подобия (планетарий, модели зданий и аппаратов и т. д.). Процесс исследования в таком случае тесно связан с материальным воздействием на модель, т. е. состоит в натурном эксперименте. Таким образом, материальное моделирование по своей природе является экспериментальным методом.

Типы идеального моделирования Интуитивное – моделирование объектов, не поддающихся формализации или не нуждающихся в ней. Жизненный опыт человека можно считать его интуитивной моделью окружающего мира Знаковое – моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования разного вида: схемы, графики, чертежи, формулы и т. д. и содержащее совокупность законов, по которым можно оперировать с элементами модели

Математическое моделирование исследование объекта осуществляют на основе модели, сформулированной на языке математики и исследуемой с помощью тех или иных математических методов Математическое моделирование – это область науки, занимающаяся моделированием явлений природы, техники, экономической и общественной жизни с помощью математического аппарата и, в настоящее время, реализующая эти модели с помощью ЭВМ

Классификация мат. моделей По назначению: дескриптивные оптимизационные имитационные По характеру уравнений: линейные нелинейные По учету изменения системы во времени: динамические статические По свойству области определения аргументов: непрерывные дискретные По характеру процесса: детерминированные стохастические

Слайд 3

Математическоемоделирование

это приближённое описание какого-нибудь класса явлений, выраженное на языке какой-нибудь математической теории (с помощью системы алгебраических уравнений и неравенств, дифференциальных или интегральных уравнений, функций, системы геометрических предложений, векторов и т.п.).

Слайд 4

Классификация моделей

Формальная классификация моделей Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий: Линейные или нелинейные модели[; Сосредоточенные или распределённые системы; Детерминированные или стохастические; Статические или динамические; Дискретные или непрерывные. и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом - распределённые модели и т. д.

Слайд 5

Классификация по способу представления объекта Структурныеили функциональные модели Структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение (функционирование) объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика». Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика».

Слайд 6

Содержательные и формальные модели Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель. А финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели. Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, то есть дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования.

Слайд 7

Слайд 8

Тип 1: Гипотеза (такое могло бы быть)

Эти модели «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным». Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко это сформулировал Ричард Фейнман: Если модель первого типа построена, то это означает, что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только временной паузой: статус модели первого типа может быть только временным.

Слайд 9

Тип 2: Феноменологическая модель (ведем себя так, как если бы…)

Феноменологические модели имеют статус временных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй.

Слайд 10

Тип 3: Приближение(что-то считаем очень большим или очень малым)

Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае - использование приближений (моделей типа 3). Среди них модели линейного отклика. Уравнения заменяются линейными.

Слайд 11

Тип 4: Упрощение(опустим для ясности некоторые детали)

В модели типа 4 отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат. Одни и те же уравнения могут служить моделью типа 3 (приближение) или 4 (опустим для ясности некоторые детали) - это зависит от явления, для изучения которого используется модель. Так, если модели линейного отклика применяются при отсутствии более сложных моделей, то это уже феноменологические линейные модели.

Слайд 12

Тип 5: Эвристическая модель (количественного подтверждения нет, но модель способствует более глубокому проникновению в суть дела)

Эвристическая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и даёт предсказания только «по порядку величины». Оно даёт простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины.

Слайд 13

Тип 6: Аналогия (учтём только некоторые особенности)

Подобие, равенство отношений; сходство предметов, явлений, процессов, величин..., в каких-либо свойствах, а также познание с учетом только некоторых особенностей.

Слайд 14

Тип 7: Мысленный эксперимент(главное состоит в опровержении возможности)

вид познавательной деятельности, в которой ключевая для той или иной научной теории ситуация разыгрывается не в реальном эксперименте, а в воображении. В некоторых случаях мысленный эксперимент обнаруживает противоречия теории и «обыденного сознания», что далеко не всегда является свидетельством неверности теории

Слайд 15

Тип 8: Демонстрация возможности (главное - показать внутреннюю непротиворечивость возможности)

Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия. В основе содержательной классификации - этапы, предшествующие математическому анализу и вычислениям. Восемь типов моделей по Р. Пайерлсу суть восемь типов исследовательских позиций при моделировании.

Слайд 16

Основные этапы математического моделирования

1. Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

Слайд 17

2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время. 3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

Слайд 18

4. Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности. 5. Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Слайд 19

При этом должны соблюдаться следующие требования:

модель должна адекватно отражать наиболее существенные (с точки зрения определенной постановки задачи) свойства объекта, отвлекаясь от несущественных его свойств; модель должна иметь определенную область применимости, обусловленную принятыми при её построении допущениями; модель должна позволять получать новые знания об изучаемом объекте.

Слайд 20

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

Посмотреть все слайды

Математическая модель - это совокупность математических объектов и соотношений между ними, адекватно отображающая свойства и поведение исследуемого объекта.

Математика в самом общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами.

Математическое отношение – это гипотетическое правило, связывающее два или более символических объекта. Многие отношения могут быть описаны при помощи математических операций, связывающих один или несколько объектов с другим объектом или множеством объектов (результатом операции). Абстрактная модель с ее объектами произвольной природы, отношениями и операциями определяется непротиворечивым набором правил, вводящих операции, которыми можно пользоваться, и устанавливающих общие отношения между их результатами. Конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже известными математическими понятиями (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложения и умножения чисел).

Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбранные стороны физической ситуации, если можно установить правило соответствия, связывающее специфические физические объекты и отношения с определенными математическими объектами и отношениями. Поучительным и/или интересным может также быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует. Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия; определяющие свойства этих моделей представляют собой более или менее непосредственные абстракции физических процессов (счет, упорядочение, сравнение, измерение).

Объекты и операции более общих математических моделей часто ассоциируются с множествами действительных чисел, которые могут быть соотнесены с результатами физических измерений.

Математическое моделирование - метод качественного и (или) количественного описания процесса с помощью, так называемой математической модели, при построении которой реальный процесс или явление описывается с помощью того или иного адекватного математического аппарата. Математическое моделирование является неотъемлемой частью современного исследования.

Математическое моделирование является типичной дисциплиной, находящейся, как сейчас часто говорят, на “стыке” нескольких наук. Адекватная математическая модель не может быть построена без глубокого знания того объекта, который “обслуживается” математической моделью. Иногда высказывается иллюзорная надежда, что математическая модель может быть создана совместно математиком, не знающим объекта моделирования, и специалистом по “объекту”, не знающим математики. Для успешной деятельности в области математического моделирования необходимо знать как математические методы, так и объект моделирования. С этим связано, например, наличие такой специальности как физик теоретик, основной деятельностью которого является математическое моделирование в физике. Разделение специалистов на теоретиков и экспериментаторов, утвердившееся в физике, несомненно, произойдет и в других науках, как фундаментальных, так и прикладных.

Ввиду разнообразия применяемых математических моделей, их общая классификация затруднена. В литературе обычно приводят классификации, в основу которых положены различные подходы. Один из таких подходов связан с характером моделируемого процесса, когда выделяют детерминированные и вероятностные модели. Наряду с такой широко распространенной классификацией математических моделей существуют и другие.

Классификация математических моделей на основе особенностей применяемого математического аппарата . В ней можно выделить следующие их разновидности.

Обычно с помощью таких моделей описывают динамику систем, состоящих из дискретных элементов. С математической стороны - это системы обыкновенных линейных или нелинейных дифференциальных уравнений.

Математические модели с сосредоточенными параметрами широко применяются для описания систем, состоящих из дискретных объектов или совокупностей идентичных объектов. Например, широко используется динамическая модель полупроводникового лазера. В этой модели фигурируют две динамические переменные - концентрации неосновных носителей заряда и фотонов в активной зоне лазера.

В случае сложных систем число динамических переменных и, следовательно, дифференциальных уравнений может быть велико (до 102… 103). В этих случаях полезны различные методы редукции системы, основанные на временной иерархии процессов, оценке влияния различных факторов и пренебрежении несущественными среди них и др.

Метод последовательного расширения модели может привести к созданию адекватной модели сложной системы.

Моделями этого типа описываются процессы диффузии, теплопроводности, распространения волн различной природы и т. п. Эти процессы могут быть не только физической природы. Математические модели с распределенными параметрами широко распространены в биологии, физиологии и других науках. Чаще всего в качестве основы математической модели применяют уравнения математической физики, в том числе и нелинейные.

Общеизвестна основополагающая роль принципа наибольшего действия в физике. Например, все известные системы уравнений, описывающие физические процессы, могут быть выведены из экстремальных принципов. Однако и в других науках экстремальные принципы играют существенную роль.

Экстремальный принцип используется при аппроксимации эмпирических зависимостей аналитическим выражением. Графическое изображение такой зависимости и конкретный вид аналитического выражения, описывающего эту зависимость, определяют с помощью экстремального принципа, получившего название метода наименьших квадратов (метод Гаусса), суть которого заключается в следующем.

Пусть проводится опыт, целью которого является исследование зависимости некоторой физической величины Y от физической величины X. Предполагается, что величины х и у связаны функциональной зависимостью

Вид этой зависимости и требуется определить из опыта. Предположим, что в результате опыта получили ряд экспериментальных точек и построили график зависимости у от х . Обычно экспериментальные точки на таком графике располагаются не совсем правильно, дают некоторый разброс, т. е. обнаруживают случайные отклонения от видимой общей закономерности. Эти отклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения. Тогда возникает типичная для практики задача сглаживания экспериментальной зависимости.

Для решения этой задачи обычно применяется расчетный метод, известный под названием метода наименьших квадратов (или метод Гаусса).

Разумеется, перечисленные разновидности математических моделей не исчерпывают весь математический аппарат, применяемый в математическом моделировании. Особенно разнообразен математический аппарат теоретической физики и, в частности, ее важнейшего раздела - физики элементарных частиц.

В качестве основного принципа классификации математических моделей часто используют области их применения. При таком подходе выделяются следующие области применения:

физические процессы;

технические приложения, в том числе управляемые системы, искусственный интеллект;

жизненные процессы (биология, физиология, медицина);

большие системы, связанные с взаимодействием людей (социальные, экономические, экологические);

гуманитарные науки (языкознание, искусство).

(Области применения указаны в порядке, соответствующем убыванию уровня адекватности моделей).

Виды математических моделей: детерминированные и вероятностные, теоретические и экспериментальные факторные. Линейные и нелинейные, динамические и статические. непрерывные и дискретные, функциональные и структурные.

Классификация математических моделей (ТО - технический объект)

Структура модели - это упорядоченное множество элементов и их отношений. Параметр - это величина, характеризующая свойство или режим работы объекта. Выходные параметры характеризуют свойства технического объекта, а внутренние параметры - свойства его элементов. Внешние параметры - это параметры внешней Среды, оказывающей влияние на функционирование технического объекта.

К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Эти требования противоречивы.

В зависимости от степени абстрагирования при описании физических свойств технической системы различают три основных иерархических уровня: верхний или метауровень, средний или макроуровень, нижний или микроуровень.

Метауровень соответствует начальным стадиям проектирования, на которых осуществляется научно-техничекский1 поиск и прогнозирование, разработка концепции и технического решения, разработка технического предложения. Для построения математических моделей метауровня используют методы морфологического синтеза, теории графов, математической логики, теории автоматического управления, теории массового обслуживания, теории конечных автоматов.

На макроуровне объект рассматривается как динамическая система с сосредоточенными параметрами. Математические модели макроуровня представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти модели используют при определении параметров технического объекта и его функциональных элементов.

На микроуровне объект представляется как сплошная Среда с распределенными параметрами. Для описания процессов функционирования таких объектов используют дифференциальные уравнения в частных производных. На микроуровне проектируют неделимые по функциональному признаку элементы технической системы, называемые базовыми элементами. При этом базовый элемент рассматривается как система, состоящая из множества однотипных функциональных элементов одной и той же физической природы, взаимодействующих между собой и находящихся под воздействием внешней Среды и других элементов технического объекта, являющихся внешней средой по отношению к базовому элементу.

По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений вне связи с методом решения этих уравнений.

В алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма - последовательности вычислений. Среди алгоритмических моделей выделяют имитационные , модели предназначенные для имитации физических и информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании под воздействием различных факторов внешней среды.

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений. Аналитические математические модели позволяют легко и просто решать задачи определения оптимальных параметров. Поэтому, если представляется возможность получения модели в таком виде, ее всегда целесообразно реализовать, даже если при этом придется выполнить ряд вспомогательных процедур, Такие модели обычно получают методом планирования эксперимента (вычислительного или физического).

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т.п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей.

Деление математических моделей на функциональные и структурные определяется характером отображаемых свойств технического объекта.

Структурные модели отображают только структуру объектов и используются только при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Эти параметры называют морфологическими перемененными. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Наиболее перспективно применение древовидных графов типа И-ИЛИ-дерева. Такие модели широко используют на метауровне при выборе технического решения.

Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений. Они учитывают структурные и функциональные свойства объекта и позволяют решать задачи как параметрического, так и структурного синтеза. Их широко используют на всех уровнях проектирования. На метауровне функциональные задачи позволяют решать задачи прогнозирования, на макроуровне - выбора структуры и оптимизации внутренних параметров технического объекта, на микроуровне - оптимизации параметров базовых элементов.

ПО способам получения функциональные математические модели делятся на теоретические и экспериментальные.

Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные - на основе поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как “черный ящик”. Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели).

При построении теоретических моделей используется физический и формальный подходы.

Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа и т.д.

Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей. Экспериментальные модели - формальные. Они не учитывают всего комплекса физических свойств элементов исследуемой технической системы, а лишь устанавливают обнаруживаемую в процессе эксперимента связь между отдельными параметрами системы, которые удается варьировать и (или) осуществлять их измерение. Такие модели дают адекватное описание исследуемых процессов лишь в ограниченной области пространства параметров, в которой осуществлялось варьирование параметров в эксперименте. Поэтому экспериментальные математические модели носят частный характер, в то время как физические законы отражают общие закономерности явлений и процессов, протекающих как во всей технической системе, так и в каждом ее элементе в отдельности. Следовательно, экспериментальные математические модели не могут быть приняты в качестве физических законов. Вместе с тем методы, применяемые для построения этих моделей широко используются при проверке научных гипотез.

Функциональные математические модели могут быть линейные и нелинейные. Линейные модели содержат только линейные функции величин, характеризующих состояние объекта при его функционировании, и их производных. Характеристики многих элементов реальных объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции этих величин и их производных и относятся к нелинейным .

Если при моделировании учитываются инерционные свойства объекта и (или) изменение во времени объекта или внешней Среды, то модель называют динамической . В противном случае модель - статическая . Математическое представление динамической модели в общем случае может быть выражено системой дифференциальных уравнений, а статической - системой алгебраических уравнений.

Если воздействие внешней Среды на объект носит случайный характер и описывается случайными функциями. В этом случае требуется построение вероятностной математической модели. Однако такая модель весьма сложная и ее использование при проектировании технических объектов требует больших затрат машинного времени. Поэтому ее применяют на заключительном этапе проектирования.

Большинство проектных процедур выполняется на детерминированных моделях. Детерминированная математическая модель характеризуется взаимно однозначным соответствием между внешним воздействием на динамическую систему и ее реакцией на это воздействие. В вычислительном эксперименте при проектировании обычно задают некоторые стандартные типовые воздействия на объект: ступенчатые, импульсные, гармонические, кусочно-линейные, экспоненциальные и др. Их называют тестовыми воздействиями.

Продолжение Таблицы “Классификация математических моделей

Виды математических моделей технических объектов
По учету физических свойств ТО	По способности прогнозирования результатов
Динамические	Детерминированные
Статические	Вероятностные
Непрерывные
Дискретные
Линейные
На этом этапе выполняются следующие действия. Составляется план создания и использования программной модели. Как правило, программа модели создается с помощью средств автоматизации моделирования на ЭВМ. Поэтому в плане указываются: тип ЭВМ; средство автоматизации моделирования; примерные затраты памяти ЭВМ на создание программы модели и ее рабочих массивов; затраты машинного времени на один цикл работы модели; оценки затрат на программирование и отладку программы модели. Затем исследователь приступает к программированию модели. В качестве технического задания на программирование служит описание имитационной модели. Специфика работ по программированию модели зависит от средств автоматизации моделирования, которые доступны исследователю. Не существует значительных отличий создания программы модели от обычной автономной отладки программных модулей большой программы или пакета программ, В соответствии с текстом производится деление модели на блоки и подблоки. В отличие от обычной автономной отладки программных модулей, при автономной отладке блоков и подблоков программной модели объем работ существенно увеличивается, поскольку для каждого модуля необходимо создать и отладить еще имитатор внешнего окружения. Весьма существенно выверить реализацию функций модуля в модельном времени t и оценить затраты машинного времени на один цикл работы модели как функцию от значений параметров модели. Завершаются работы при автономной отладке компонент модели подготовкой форм представления входных и выходных данных моделирования. Далее переходят ко второй проверке достоверности программы модели системы. В процессе этой проверки устанавливается соответствие операций в программе и описании модели. Для этого производится обратный перевод программы в схему модели (ручная «прокрутка» позволяет найти грубые ошибки статики модели) . После исключения грубых ошибок ряд блоков объединяется и начинается комплексная отладка модели с использованием тестов. Отладка по тестам начинается с нескольких блоков, затем в этот процесс вовлекается все большее число блоков модели. Отметим, что комплексная отладка программы модели намного сложнее отладки пакетов прикладных программ, поскольку ошибки динамики моделирования в этом случае найти значительно труднее вследствие квазипараллельной работы различных компонент модели. По завершении комплексной отладки программы модели необходимо вновь оценить затраты машинного времени на один цикл расчетов на модели. При этом полезно получить аппроксимацию времени моделирования на один цикл имитации. Следующим действием является составление технической документации на модель сложной системы. Результатом этапа к моменту окончания комплексной отладки программы модели должны быть следующие документы: описание имитационной модели; описание программы модели с указанием системы программирования и принятых обозначений; полная схема программы модели; полная запись программы модели на языке моделирования; доказательство достоверности программы модели (результаты комплексной отладки программы модели); описание входных и выходных величин с необходимыми пояснениями (размерностей, масштабов, диапазонов изменения величин, обозначений); оценка затрат машинного времени на один цикл моделирования; инструкция по работе с программой модели. Для проверки адекватности модели объекту исследования после составления формального описания системы исследователь составляет план проведения натурных экспериментов с прототипом системы. Если прототип системы отсутствует, то можно использовать систему вложенных ИМ, отличающихся друг от друга степенью детализации имитации одних и тех же явлений. Тогда более детальная модель служит в качестве прототипа для обобщенной ИМ. Если же построить такую последовательность невозможно либо из-за отсутствия ресурсов на выполнение этой работы, либо из-за недостаточности информации, то обходятся без проверки адекватности ИМ. Согласно этому плану параллельно с отладкой ИМ осуществляется серия натурных экспериментов на реальной системе, в ходе которых накапливаются контрольные результаты. Имея в своем распоряжении контрольные результаты и результаты испытаний ИМ, исследователь проверяет адекватность модели объекту. При обнаружении ошибок на этапе отладки, устранимых только на предыдущих этапах, может иметь место возврат на предыдущий этап. Кроме технической документации к результатам этапа прилагается машинная реализация модели (программа, оттранслированная в машинном коде ЭВМ, на которой будет происходить имитация). Это важный этап создания модели. При этом необходимо выполнить следующее. Во-первых, убедиться в правильности динамики развития алгоритма моделирования объекта исследования в ходе имитации его функционирования (провести верификацию модели). Во-вторых, определить степень адекватности модели и объекта исследования. Под адекватностью программной имитационной модели реальному объекту понимают совпадение с заданной точностью векторов характеристик поведения объекта и модели. При отсутствии адекватности проводят калибровку имитационной модели («подправляют» характеристики алгоритмов компонент модели). Наличие ошибок во взаимодействии компонент модели возвращает исследователя к этапу создания имитационной модели. Возможно, что в ходе формализации исследователь слишком упростил физические явления, исключил из рассмотрения ряд важных сторон функционирования системы, что привело к неадекватности модели объекту. В этом случае исследователь должен вернуться к этапу формализации системы. В тех случаях, когда выбор способа формализации оказался неудачным, исследователю необходимо повторить этап составления концептуальной модели с учетом новой информации и появившегося опыта. Наконец, когда у исследователя оказалось недостаточно информации об объекте, он должен вернуться к этапу составления содержательного описания системы и уточнить его с учетом результатов испытания предыдущей модели системы. При этом оцениваются точность имитации явлений, устойчивость результатов моделирования, чувствительность критериев качества к изменению параметров модели. Получить эти оценки в ряде случаев бывает весьма сложно. Однако без успешных результатов этой работы доверия к модели не будет ни у разработчика, ни у заказчика ИМ. У разных исследователей в зависимости от вида ИМ сложились различные интерпретации понятий точности, устойчивости, стационарности, чувствительности ИМ. Пока не существует общепринятой теории имитации явлений на ЭВМ. Каждому исследователю приходится полагаться на свой опыт организации имитации и на свое понимание особенностей объекта моделирования. Точность имитации явлений представляет собой оценку влияния стохастических элементов на функционирование модели сложной системы. Устойчивость результатов моделирования характеризуется сходимостью контролируемого параметра моделирования к определенной величине при увеличении времени моделирования варианта сложной системы. Стационарность режима моделирования характеризует собой некоторое установившееся равновесие процессов в модели системы, когда дальнейшая имитация бессмысленна, поскольку новой информации из модели исследователь не получит и продолжение имитации практически приводит только к увеличению затрат машинного времени. Такую возможность необходимо предусмотреть и разработать способ определения момента достижения стационарного режима моделирования. Чувствительность ИМ представляется величиной минимального приращения выбранного критерия качества, вычисляемого по статистикам моделирования, при последовательном варьировании параметров моделирования на всем диапазоне их изменений. Этот этап начинается с составления плана эксперимента, позволяющего исследователю получить максимум информации при минимальных усилиях на вычисление. Обязательно статистическое обоснование плана эксперимента. Планирование эксперимента представляет собой процедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом существенно следующее: стремление к минимизации общего числа опытов, обеспечение возможности одновременного варьирования всеми переменными; использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментаторов; выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов на модели. Затем исследователь приступает к проведению рабочих расчетов на модели. Это весьма трудоемкий процесс, требующий больших затрат ресурса ЭВМ и обилия канцелярской работы. Отметим, что уже на ранних этапах создания ИМ необходимо тщательно продумывать состав и объемы информации моделирования, чтобы существенно облегчить дальнейший анализ результатов имитации. Итогом работы являются результаты моделирования. Данный этап завершает технологическую цепочку этапов создания и использования имитационных моделей. Получив результаты моделирования, исследователь приступает к интерпретации результатов. Здесь возможны следующие циклы имитации. В первом цикле имитационного эксперимента в ИМ заранее предусмотрен выбор вариантов исследуемой системы путем задания начальных условий имитации для машинной программы модели. Во втором цикле имитационного эксперимента модель модифицируется на языке моделирования, и поэтому требуются повторная трансляция и редактирование программы. Возможно, что в ходе интерпретации результатов исследователь установил наличие ошибок либо при создании модели, либо при формализации объекта моделирования. В этих случаях осуществляется возврат на этапы построения описания имитационной модели или на составление концептуальной модели системы соответственно. Результатом этапа интерпретации результатов моделирования являются рекомендации по проектированию системы или ее модификации. Имея в своем распоряжении рекомендации, исследователи приступают к принятию проектных решений. На интерпретацию результатов моделирования оказывают существенное влияние изобразительные возможности используемой ЭВМ и реализованной на ней системы моделирования. 1. Как проводится классификация математических моделей на основе особенностей применяемого математического аппарата. Реферат по математике Разработка экономико-математической модели по оптимизации отраслевой структуры производства в СХ